Induksi Matematika

 Nama : Muhamad Rizky Aprillian

 Kelas : XI IPS 3

 Mata Pelajaran : Matematika

Induksi Matematika 

Induksi matematika adalah suatu metode yang biasanya digunakan untuk pembuktian deduktif dimana sering digunakan dalam membuktikan suatu pernyataan di bidang matematika yang berhubungan dengan himpunan bilangan tertentu dengan terurut rapi.

Contoh dari bilangan tersebut adalah bilangan asli ataupun himpunan bilangan bagian tak kosong dari suatu bilangan asli.

Induksi matematika bukanlah metode yang digunakan untuk merumuskan suatu masalah tertentu, melainkan induksi matematika ini digunakan untuk membuktikan dan mengecek suatu rumus atau pernyataan tertentu sehingga bisa diketahui kebenarannya.

Jadi bisa disimpulkan jika Induksi matematika ini tidak dapat digunakan sebagai metode penurunan rumus.

Di bawah ini merupakan beberapa contoh mengenai pernyataan matematika yang dapat kita buktikan dengan menggunakan induksi matematika mengenai kebenarannya. Rumus matematika untuk induksi matematika :

P(n) = 2 + 4 + 6 + 8 … + 2n = n(n + 1),dimana n merupakan suatu bilangan asli.

P(n) = 6n + 4 dimana nilai tersebut habis jika dibagi 5 dan untuk n merupakan suatu bilangan asli.

P(n) = 4n < 2n, dimana untuk semua bilangan asli adalah n ≥ 4.

Rumus induksi matematika

Gambar di atas sekilas terlihat seperti susunan domino dimana domino pertama terjatuh dan akan mengenai domino nomor dua. Hal diatas dapat kita gunakan sebagai perumpamaan dalam prinsip kerja dari suatu induksi matematika, berikut sedikit pembahasannya.

Kondisi seperti apakah yang dapat menjawab pertanyaan kapan semua domino yang tersusun tersebut akan roboh atau terjatuh? untuk menjawab hal tersebut kita harus memenuhi dua keadaan.

Keadaan yang pertama yaitu domino nomor 1 harus jatuh, selanjutnya keadaan yang kedua adalah setelah domino nomor 1 jatuh, maka domino nomor 2 akan ikut jatuh karena terkena dampak dari domino nomor 1, kemudian domino nomor 3 akan ikut jatuh karena dampak domino nomor 2, begitu selanjutnya hingga seluruh domino jatuh.

Dengan begitu bisa kita katakan jika domino K roboh maka domino yang akan jatuh juga adalah domino K+1 dan implikasi ini juga berlaku kepada semua domino yang ada. Efek ini juga akan berlaku untuk domino lain yang tertata tersebut jika dua keadaan yang disebutkan tadi terpenuhi.

Prinsip Induksi Matematika

Contoh dari prinsip induksi matematika adalah P(n) adalah suatu pernyataan yang dimana bergantung dari n itu sendiri. P(n) dinyatakan benar jika masing masing dari bilangan n asli bisa memenuhi 2 kondisi seperti berikut ini.

Kondisi pertama P(m) benar, hal tersebut memiliki arti n = m, dengan begitu P(n) memiliki nilai benar, lalu Kondisi kedua yaitu untuk seluruh bilangan asli k ≥ m, apabila P(k) dinyatakan benar maka dengan begitu P(K+1) juda dinyatakan benar

Kita dapat menggunakan sistem substitusi jika ingin membuktikan hal tersebut benar atau tidak. Silakan substitusikan n = p untuk menunjukan P(1) pada P(n).

Jika P(n) memiliki bentuk dalam persamaan, dengan begitu ruas dibagian kiri harus sama dengan ruas yang ada di bagian kanan sekaran n = 1 selanjutnya kita dapat simpulkan P(1) dinyatakan benar.

Metode yang sama bisa kita gunakan untuk membuktikan jika P(m) itu benar, bisa kalian lihat kembali gambar domino yang ada di atas, agar domino (K + 1) dapat roboh atau terjatuh, maka sebelum itu domino K harus jatuh atau roboh terlebih dahulu, yang selanjutnya akan memiliki efek jika domino k roboh, domino (k + 1) juga ikut roboh.

 

Jadi untuk membuktikan jika implikasi / efek jika P(k) dinyatakan benar, ini mempunyai arti P(k + 1) juga dapat dinyatakan benar, yang perlu kita lakukan pertama tama adalah melakukan asumsi jika P(k) benar.

Kemudian kalian lihat jika dari asumsi tersebut kita buktikan juga P(k + 1) juga dapat dinyatakan benar. Proses ini dinamakan sebagai proses Hipotesis Induksi. Jadi dapat disimpulkan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1), langkah pertama yang perlu kita lakukan adalah melakukan hipotesis.

Kondisi pertama P(1) benar dimana hal tersebut mempunyai arti n = 1, dengan begitu P (n) memiliki bilai benar, lalu Kondisi kedua yaitu untuk seluruh bilangan asli k, apabila P(k) dinyatakan benar maka dengan begitu P(K+1) juga dinyatakan benar.

Pembahasan Induksi Matematika

Untuk contoh P(n) adalah suatu pernyataan yang dimana itu bergantung kepada n. P(n) dinyatakan benar untuk seluruh bilangan asli n ≥ m, apabila dapat memenuhi 2 kondisi seperti berikut.

Cara pembuktian induksi matematika ada dua langkah yaitu:

Buktikan bahwa untuk n = 1 benar

Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar

Pembahasan : Untuk membuktikan suatu rumus tersebut berlaku, dapat menggunakan induksi matematika yaitu terdiri dari 2 langkah:

Buktikan bahwa untuk n = 1 benar

Dengan mengasumsikan bahwa untuk n = k benar, maka buktikan bahwa untuk n = k + 1 juga benar.

Penerapan Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan sebuah teknik pembuktian pernyataan yang berkaitan dengan objek diskrit yang sangat penting. Penerapan induksi matematika di dalam matematika yang menjadi pokok bahasan utama untuk menjabarkan bagaimana induksi matematika dapat membuktikan sebuah masalah matematika.

Contoh Soal : 

Soal 1

Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k+1) + 22(2k+2) 

= 32k+2 + 22k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2

= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)

Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1

Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi). 

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2.2n+1) – 1

= 2n+2 – 1 

= 2(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. 

Soal 2

 Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.

Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1. 

Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, yakni:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = n2

Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (n+1) juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)

= n2 + (2n + 1)

= n2 + 2n + 1

= (n + 1)2

Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. 

Soal 3

Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2.

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Maka akan mampu menujukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N. 

Langkah Pertama

Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 12. Jadi, p(1) adalah benar. 

Langkah Induksi 

Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(k) adalah benar, yaitu: 

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2, k N

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + (2(k + 1) – 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k2 + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2 

Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(n) adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli. 

Soal 4

Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi. 

Langkah Awal 

Langkah ini akan menunjukkan jika p(1) adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar. 

Langkah Induksi 

Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.

6k+1 + 4 = 6(6k) + 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4 

Jika 5(6k) telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar. 

Soal 5

Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2).

Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi. 

Langkah Awal 

n = 1 

12 = 1/6 1 (1 + 1) (1 + 2) 

1 = 1 adalah benar terbukti.

Langkah Induksi 

n = k 

1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) juga adalah benar. 

Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2). Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya.